定积分(Definite Integral)
Chapter16：定积分
16.定积分16.1 基本思想16.2 定积分的定义使用定积分的定义计算面积
16.3 定积分的性质16.3.1 性质一16.3.2 性质二16.3.3 性质三16.3.4 性质四16.3.5 性质五
16.4 求面积16.4.0 积分符号的含义16.4.1 求通常的面积（非有向面积）求通常的面积的方法
16.4.2 求解两条曲线之间的面积16.4.3 求曲线与 y轴所围成的面积
16.5 估算积分一个简单的估算
16.6 积分的平均值和中值定理16.6.1 积分的平均值16.6.2 积分的中值定理
此篇为两本书的相关内容，并没有进行整合，可能有重复部分
16.定积分
16.1 基本思想
如果是速度-时间图，则面积表示位移，x轴上方为正向位移，x轴下方为反向位移
例子：
16.2 定积分的定义
最大区间 mesh 缩小的同时，其他区间也同步缩小
使用定积分的定义计算面积
划分区间 通常的分区 特殊化 这里每个区间长度都为
2
n
\frac{2}{n}
n2
所有长方形面积求和
f
(
x
)
=
x
2
c
j
=
2
n
j
x
j
=
2
n
j
x
j
−
1
=
2
n
(
j
−
1
)
f(x)=x^2\\ ~\\ c_j=\frac{2}{n}j \\ ~\\ x_j=\frac{2}{n}j\\ ~\\ x_{j-1}=\frac{2}{n}(j-1)
f(x)=x2 cj=n2j xj=n2j xj−1=n2(j−1)
∑
j
=
1
n
(
2
n
j
)
2
(
2
n
)
∑
j
=
1
n
(
4
n
2
j
2
)
(
2
n
)
=
∑
j
=
1
n
8
j
2
n
3
\sum_{j=1}^n(\frac{2}{n}j)^2(\frac{2}{n})\\ ~\\ \sum_{j=1}^n(\frac{4}{n^2}j^2)(\frac{2}{n})=\sum_{j=1}^n\frac{8j^2}{n^3}
j=1∑n(n2j)2(n2) j=1∑n(n24j2)(n2)=j=1∑nn38j2
lim
n
→
∞
8
n
2
+
6
n
+
4
3
n
2
=
lim
n
→
∞
8
n
2
+
6
n
+
4
n
2
3
n
2
3
n
2
=
8
3
\lim_{n \rightarrow\infty}\frac{8n^2+6n+4}{3n^2}=\lim_{n \rightarrow\infty}\frac{\frac{8n^2+6n+4}{n^2}}{\frac{3n^2}{3n^2}}=\frac{8}{3}
n→∞lim3n28n2+6n+4=n→∞lim3n23n2n28n2+6n+4=38
16.3 定积分的性质
16.3.1 性质一
区间端点数字左大右小，则区间长度
（
x
j
−
x
j
−
1
）
（x_j-x_{j-1}）
（xj−xj−1）为负数
即 x轴 正向朝左 x轴正向朝右
0
=
x
0
<
x
1
<
x
2
<
x
3
⋯
<
x
n
−
1
<
x
n
=
2
0=x_0\lt x_1 \lt x_2 \lt x_3 \cdots \lt x_{n-1} \lt x_n=2
0=x0 在 x轴正向朝右和正向朝左的两种情况直接进行积分，积分上下限调换，积分并取相反数 16.3.2 性质二 x = a x=a x=a到 x = a x=a x=a与曲线和 x轴 围成的面积为 0 16.3.3 性质三 16.3.4 性质四 16.3.5 性质五 16.4 求面积 16.4.0 积分符号的含义 小竖条的面积 y d x ydx ydx 在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 中划分更多如上图所示的竖条，则我们得到了一个面积近似值。 积分符号不仅是求和的含义，同时也要求所有小竖条的宽度(dx)趋于0（极限的方法） 16.4.1 求通常的面积（非有向面积） 定积分所处理的是有向面积 有向面积： x轴上方面积为正 x轴下方面积为负 将函数取绝对值，将 x 轴下方的面积转移到 x 轴上方 求通常的面积的方法 找出 [ a , b ] [a,b] [a,b] 内满足函数值为0的所有 x x x 值（函数值正负的分界）假设找到一个 x x x 值，第一部分 [ a , x ] [a,x] [a,x]，第二部分 [ x , b ] [x,b] [x,b]分别计算出两个积分每个积分取绝对值，然后相加 16.4.2 求解两条曲线之间的面积 函数 f ( x ) f(x) f(x) 在整个区间内都在函数 g ( x ) g(x) g(x) 的上方 在区间函数 f ( x ) f(x) f(x) 有时在函数 g ( x ) g(x) g(x) 的上方，有时在函数 g ( x ) g(x) g(x) 的下方 使函数 f ( x ) = g ( x ) f(x)=g(x) f(x)=g(x)求出两个函数的交点，即可确定两个函数的相对位置（就上下而言） 16.4.3 求曲线与 y轴所围成的面积 如果 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)，反函数是存在的，那么有 x = f − 1 ( y ) x=f^{-1}(y) x=f−1(y) 例子： 小横条面积 x d y xdy xdy 对区间进行划分，得到很多小横条，将这些小横条的面积相加，得到真实面积的近似值 0 < y < 2 ∫ 0 2 x d y y = x ， x = y 2 ∫ 0 2 y 2 d y 0\lt y \lt 2 \\ ~\\ \int_0^2xdy \\ ~\\ y=\sqrt{x}，x=y^2 \\ ~\\ \int_0^2y^2dy 0 ，x=y2 ∫02y2dy 16.5 估算积分 当一个函数一直都大于另一个函数，它的积分也一直大于另一个函数 一个简单的估算 16.6 积分的平均值和中值定理 16.6.1 积分的平均值 使用微分可以在已知某时间段位移的前提下求瞬时速度 使用积分可以在已知某时间段瞬时速度的前提下求位移 例子： 16.6.2 积分的中值定理 水平线 y = f a v y=f_{av} y=fav 与函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 有交点，我们将横坐标记为 c c c，所以有 f ( c ) = f a v f(c)=f_{av} f(c)=fav 结论：如果函数 f f f 是连续的，那总会有一个数 c c c 之前的中值定理与这里的中值定理的不同 在任何一段旅途中，都有某一时刻的瞬时速度=平均速度 两者的不同之处在于： 前面的中值定理用位移-时间图像中的斜率来解释后面的中值定理用速度-时间图像中的面积来解释